Боковая сторона и высота равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны соответственно 30 см и 24 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция \(ABCD\), описанная около окружности. Боковая сторона \(AB = CD = 30\) см, высота \(BH = 24\) см. Необходимо найти основания трапеции \(AD\) и \(BC\).

Так как в трапецию вписана окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон: \(AD + BC = AB + CD = 30 + 30 = 60\).

Опустим высоту \(CK\) из вершины \(C\) на основание \(AD\). Тогда \(AH = KD\) и \(AH = \frac{AD - BC}{2}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). По теореме Пифагора:

\(AH^2 + BH^2 = AB^2\)

\(AH^2 + 24^2 = 30^2\)

\(AH^2 + 576 = 900\)

\(AH^2 = 324\)

\(AH = \sqrt{324} = 18\)

Таким образом, \(\frac{AD - BC}{2} = 18\), значит \(AD - BC = 36\).

Мы знаем, что \(AD + BC = 60\) и \(AD - BC = 36\). Сложим эти два уравнения:

\(2AD = 96\)

\(AD = 48\)

Теперь найдем \(BC\):

\(BC = 60 - AD = 60 - 48 = 12\)

Ответ: Основания трапеции равны 48 см и 12 см.