На рис. 181 точка O - центр окружности, AC - касательная к окружности, \(\angle BAC = 60^\circ\). Найдите центральный угол AOB.

Рассмотрим рисунок. Угол \(\angle BAC\) является углом между касательной и хордой, опирающейся на дугу \(BC\).

Известно, что градусная мера угла между касательной и хордой равна половине градусной меры дуги, заключённой между ними. Следовательно, дуга \(BC\) равна \(2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\).

Центральный угол \(\angle AOB\) опирается на дугу \(BC\), следовательно, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Таким образом, \(\angle AOB = 120^\circ\).

Ответ: 120°