Боковая сторона равнобедренного треугольника делит точку касания вписанной окружности в отношении 3:2, считая от вершины угла при основании треугольника, если его периметр равен 64 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный \( \triangle ABC \) с основанием AC, AB = BC. Пусть окружность касается сторон AB, BC, AC в точках M, N, P соответственно. Пусть \( BM : MA = 3 : 2 \) (считая от вершины B). Однако, условие гласит "считая от вершины угла при основании". Это означает, что точка касания делит боковую сторону. Будем считать, что точка касания M делит сторону AB. Вариант 1: точка касания M делит AB так, что BM : MA = 3:2. Вариант 2: точка касания M делит AB так, что AM : MB = 3:2. Будем следовать формулировке "считая от вершины угла при основании", что подразумевает точку касания на боковой стороне, ближайшую к углу при основании. Пусть окружность касается AB в точке K, BC в точке L, AC в точке P.

Тогда \( AK = AP \), \( BK = BL \), \( CL = CP \).

В равнобедренном треугольнике точка касания на боковой стороне делит ее в отношении \( 3:2 \), считая от вершины угла при основании. Это означает, что боковая сторона AB делится точкой касания K в отношении \( AK : KB = 2:3 \) (так как A и C — углы при основании, то AP = AK, CP = CL. Для того, чтобы точка касания была ближе к основанию, должно быть \( AK = AP \), \( BK = BL \), \( CL = CP \). Если точка касается AB, то она ближе к A или B. Если считать от вершины угла при основании (A или C), то это означает, что отрезок от вершины основания до точки касания относится к отрезку от точки касания до вершины противолежащей стороны (вершины треугольника). То есть \( AK : KB = 3:2 \).

Пусть \( AK = 3x \), тогда \( KB = 2x \). Тогда боковая сторона \( AB = AK + KB = 3x + 2x = 5x \).

Поскольку \( AB = BC \), то \( BC = 5x \).

Так как \( AK = AP \), то \( AP = 3x \).

Так как \( KB = BL \), то \( BL = 2x \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( BL = CL \) (точка касания L на BC) и \( AP = CP \) (точка касания P на AC). Это противоречие, так как \( BL \) и \( CL \) должны быть равны, но \( BL = 2x \), а \( CL = CP \).

В равнобедренном треугольнике точка касания на основании делит его пополам. Значит \( AP = CP \).

Вернемся к условию: "Боковая сторона ... делит точку касания ... в отношении 3:2, считая от вершины угла при основании".

Это означает, что на боковой стороне AB, точка касания K делит ее так, что \( AK : KB = 3:2 \).

Пусть \( AK = 3x \), \( KB = 2x \). Тогда \( AB = 5x \).

Тогда \( AP = AK = 3x \). \( BL = KB = 2x \).

В равнобедренном треугольнике \( AP = CP \), значит \( CP = 3x \).

Основание \( AC = AP + CP = 3x + 3x = 6x \).

Периметр \( P = AB + BC + AC = 5x + 5x + 6x = 16x \).

По условию, периметр равен 64 см. \( 16x = 64 \) см.

\( x = \frac{64}{16} = 4 \) см.

Найдем стороны треугольника:

• Боковая сторона \( AB = BC = 5x = 5 \cdot 4 = 20 \) см.
• Основание \( AC = 6x = 6 \cdot 4 = 24 \) см.

Ответ: Стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 24 см.