Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 273), если AD = EC и \(\angle\) BDE = \(\angle\) BED.

Решение:

Дано: Треугольник ABC, AD = EC, \( \angle BDE = \angle BED \).

Доказать: Треугольник ABC — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( \triangle BDE \) — равнобедренный с основанием BE. Следовательно, \( BD = BE \).
2. В \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \):
• \( AD = EC \) (по условию).
• \( BD = BE \) (доказано выше).
• \( \angle ADB = \angle CEB \) (так как \( \angle BDE \) и \( \angle ADB \) — смежные, \( \angle BED \) и \( \angle CEB \) — смежные, и \( \angle BDE = \angle BED \), следовательно, \( 180° - \angle BDE = 180° - \angle BED \) ).
3. Таким образом, \( \triangle ABD = \triangle CBE \) по двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников следует, что \( AB = CB \).
5. Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием AC.

Что и требовалось доказать.