71. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 4, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 12$ см. Пусть $B$ - вершина, а $AC$ - основание. Вписанная окружность касается боковой стороны $AB$ в точке $D$, причем $BD : DA = 3 : 4$. Пусть $BD = 3x$, а $DA = 4x$. Тогда боковая сторона $AB = 3x + 4x = 7x$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, $AD = AE = 4x$, где $E$ - точка касания вписанной окружности со стороной $AC$. Также, $CE = AC - AE = 12 - 4x$. Поскольку треугольник равнобедренный, то $BC = AB$, и точка касания $F$ стороны $BC$ с окружностью такова, что $BF = BD = 3x$ и $FC = CE = 12 - 4x$. Итак, $BC = BF + FC = 3x + (12 - 4x) = 12 - x$. Тогда $7x = 12 - x$, откуда $8x = 12$, и $x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$ см. Следовательно, боковая сторона $AB = 7x = 7 \cdot 1.5 = 10.5$ см. **Ответ: 10.5 см**