71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с боковой стороной угол 23°. Найдите углы трапеции.

Пусть ABCD - равнобокая трапеция, где AB = CD, BC - меньшее основание, AD - большее основание. BC = AB = CD. Угол BDA = 23°.

Треугольник ABC - равнобедренный, значит углы при основании равны: угол BAC = угол BCA.

Угол ABC = угол BAD, так как трапеция равнобокая.

Угол BAC = угол CAD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

Обозначим угол BAC = x. Тогда угол CAD = x, угол BCA = x.

Угол BAD = угол BAC + угол CAD = x + x = 2x.

Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол ABD = угол ABC - угол CBD.

Угол CBD = 23°.

2x + 23° + x = 180°

3x = 157°

x = 52,33°

• Угол BAD = 2x = 2 × 52,33° = 104,66°
• Угол ABC = 104,66°
• Угол BCD = 180° - 104,66° = 75,34°
• Угол ADC = 75,34°

Ответ: 104,66°, 104,66°, 75,34°, 75,34°