№6. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, следовательно, этот треугольник равнобедренный, и высота пирамиды равна половине диагонали основания. Пусть сторона основания равна a. Тогда диагональ основания равна $$a\sqrt{2}$$. Половина диагонали равна $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$. Так как боковое ребро равно 4, то по теореме Пифагора: $$(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = 4^2$$ $$h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$, так как угол 45 градусов. $$(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 16$$ $$2*(\frac{a^2*2}{4}) = 16$$ $$a^2 = 16$$ $$a = 4$$ Тогда половина диагонали равна: $$h = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ Высота пирамиды: $$2\sqrt{2}$$ б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех боковых граней. Каждая боковая грань - равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и основанием 4. Высота боковой грани (апофема) может быть найдена по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ Площадь одной боковой грани равна: $$S_{грани} = \frac{1}{2} * 4 * 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 4 * 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$ Площадь боковой поверхности пирамиды: $$16\sqrt{3}$$