25. Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD равны соответств 13, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла ADC проходит ч дину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Решение: 1. Обозначим трапецию ABCD, где AB = CD = 13, BC = 4. 2. Биссектриса угла ADC пересекает сторону AB в точке K. Т.к. DK - биссектриса, то угол ADK = углу KDC. 3. Угол ADK = углу BKD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей DK. Следовательно, угол KDC = углу BKD, значит, треугольник KCD - равнобедренный, и KC = CD = 13. 4. Тогда BK = AB - AK = 13. 5. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD и высоту CF из вершины C к основанию AD. Тогда BH = CF. 6. Пусть AH = x, тогда FD = x, т.к. трапеция равнобедренная. Тогда AD = BC + 2x = 4 + 2x. 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора, $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$$. 8. Рассмотрим трапецию ABCD. $$KD = AK = AB - BK = 13 - 4 = 9$$, тогда $$AD = 9$$ 9. Пусть $$AD = BC + 2x = 4+2x = y$$, откуда $$x = (y - 4)/2$$, так как $$AD = 24$$ => $$y = 24$$, тогда $$x = (24-4)/2 = 20/2 = 10$$ 10. Тогда, высота трапеции $$BH = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{169 - 100} = \sqrt{69}$$. 11. Площадь трапеции $$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot BH = \frac{4+24}{2} \cdot \sqrt{69} = 14 \sqrt{69}$$. Ответ: $$14 \sqrt{69}$$