22. Постройте график функции $$y = \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{(x-1)(x+3)}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Прежде всего, разложим числитель на множители: $$x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$$ Тогда функция примет вид: $$y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)}$$ Сокращаем $$(x - 1)$$ и $$(x + 3)$$, но помним, что $$x
eq 1$$ и $$x
eq -3$$. Тогда $$y = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$$ при $$x
eq 1$$ и $$x
eq -3$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$, $$y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4$$. Так как $$x
eq 1$$, то в точке $$x = 1$$ график имеет разрыв. Значение функции в этой точке было бы равно $$y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4$$. Так же есть разрыв в точке $$x = -3$$, значение функции $$y = (-3)^2 -2(-3) -3 = 9+6-3 = 12$$ Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы ($$m = -4$$, но эту точку нужно исключить, так как она выколота) или через точку разрыва ($$m=12$$). Но если посмотреть на то, что в точке $$x = 1$$ график имеет разрыв $$y = -4$$, то прямая $$y=-4$$ не пересекается с графиком в единственной точке, т.к. точки с $$x = 1$$ не существует в данной функции. В точке $$x = -3$$ график имеет разрыв $$y = 12$$. Получаем ответ: $$m=12$$