Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание ВС равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, AB = 40, CD = 41, BC = 16.

Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.

Пусть E - середина стороны AB, тогда AE = EB = 20.

Так как DE - биссектриса угла ADC, то $$\angle ADE = \angle EDC$$.

$$\angle ADE = \angle BEC$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DE.

Значит, $$\angle EDC = \angle BEC$$, следовательно, треугольник CDE - равнобедренный, CD = CE = 41.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Также проведем высоту CF из вершины C к основанию AD.

Пусть AH = x, тогда FD = x, так как трапеция равнобедренная.

Тогда AD = AH + HF + FD = x + 16 + x = 2x + 16.

Рассмотрим треугольник ABH: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{40^2 - x^2} = \sqrt{1600 - x^2}$$

Рассмотрим треугольник CDF: $$CF = \sqrt{CD^2 - FD^2} = \sqrt{41^2 - x^2} = \sqrt{1681 - x^2}$$

Так как BH = CF, то

$$\sqrt{1600 - x^2} = \sqrt{1681 - x^2}$$

$$1600 - x^2 = 1681 - x^2$$

$$1600 = 1681$$

Получили противоречие, значит трапеция не равнобедренная.

Пусть DE пересекает BC в точке K. Тогда $$\angle ADK = \angle DKC$$ как накрест лежащие, а $$\angle ADK = \angle CDK$$ так как DE - биссектриса. Значит, $$\angle CDK = \angle DKC$$, следовательно, CK = CD = 41.

Тогда BK = CK - BC = 41 - 16 = 25.

Рассмотрим треугольник ABE. DK - средняя линия треугольника ABE, следовательно, AD = 2BK = 2 \cdot 25 = 50.

Пусть BH - высота трапеции, тогда $$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}$$.

$$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{16 + 50}{2} \cdot BH = 33 \cdot BH$$

Проведем CE || AB, тогда BCЕD - параллелограмм, следовательно, DE = BC = 16, CE = AB = 40.

Рассмотрим треугольник CDE: CD = 41, CE = 40, DE = AD - AE = 50 - 16 = 34.

Найдем площадь треугольника CDE по формуле Герона:

$$p = \frac{41 + 40 + 34}{2} = \frac{115}{2} = 57.5$$

$$S_{CDE} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{57.5 \cdot (57.5 - 41) \cdot (57.5 - 40) \cdot (57.5 - 34)} = \sqrt{57.5 \cdot 16.5 \cdot 17.5 \cdot 23.5} = \sqrt{390693.28125} \approx 625.09$$

$$S_{ABCD} = S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} h$$

Ответ: не могу решить