Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм ABCD и произвольная точка E внутри него. Докажем, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD.

Проведём через точку E прямую, параллельную основаниям AD и BC. Пусть эта прямая пересекает стороны AB в точке K, а CD - в точке M.

Площадь треугольника BEC равна половине произведения основания BC на высоту, проведённую к BC. Высота равна расстоянию от E до BC, что равно высоте параллелограмма KBCM.

Площадь треугольника AED равна половине произведения основания AD на высоту, проведённую к AD. Высота равна расстоянию от E до AD, что равно высоте параллелограмма AKMD.

Сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине произведения BC на высоту KBCM плюс половина произведения AD на высоту AKMD. Так как BC = AD, то сумма равна половине произведения AD на сумму высот KBCM и AKMD. Сумма высот равна высоте параллелограмма ABCD.

Таким образом, сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине произведения AD на высоту параллелограмма ABCD, что равно половине площади параллелограмма ABCD.

Ответ: Сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.