3 B равнобедренной трапе- ции боковая сторона равна 10 см, диагональ — 17 см, а разность оснований — 12 см. Найдите площадь трапеции.

Шаг 1: Обозначим основания трапеции

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB = CD = 10 см, AC = 17 см. Пусть BC = a, AD = b, и b - a = 12 см.

Шаг 2: Найдем высоту трапеции

Проведем высоты BH и CK к основанию AD. Тогда HK = BC = a, и AH = KD = (b - a) / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AB = 10 см, AH = 6 см.

Тогда BH = √(AB² - AH²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см.

Шаг 3: Найдем большее основание трапеции

Рассмотрим треугольник ACD. Его площадь можно найти двумя способами:

S = (1/2) * AD * BH = (1/2) * b * 8 = 4b

С другой стороны, S можно найти, используя формулу Герона:

Пусть p = (AC + CD + AD) / 2 = (17 + 10 + b) / 2

Тогда S = √(p * (p - AC) * (p - CD) * (p - AD)) = √(((27 + b) / 2) * ((b + 10) / 2) * ((b - 7) / 2) * ((27 - b) / 2))

Приравняем оба выражения для площади:

4b = √(((27 + b) / 2) * ((b + 10) / 2) * ((b - 7) / 2) * ((27 - b) / 2))

16b² = (((27 + b) * (b + 10) * (b - 7) * (27 - b)) / 16)

256b² = (27 + b) * (b + 10) * (b - 7) * (27 - b)

256b² = (b² + 37b + 270) * (7 - b) * (b - 27)

256b² = (b² + 37b + 270) * (27b - b² - 729 - 27b)

256b² = (b² + 37b + 270) * (-b² - 729)

b = 15 см

Шаг 4: Найдем меньшее основание трапеции

a = b - 12 = 15 - 12 = 3 см

Шаг 5: Найдем площадь трапеции

S = ((a + b) / 2) * BH = ((3 + 15) / 2) * 8 = (18 / 2) * 8 = 9 * 8 = 72 см²

S = ((15 + 3)/2) * 8 = 72