Бригада маляров красит забор длиной 810 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 180 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: Пусть $$n$$ - количество дней, в течение которых бригада красила забор. Пусть $$a_1$$ - количество метров, покрашенных в первый день, и $$a_n$$ - количество метров, покрашенных в последний день. Из условия известно, что $$a_1 + a_n = 180$$. Общая длина забора равна 810 метров. Так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров, то имеем арифметическую прогрессию. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ В нашем случае $$S_n = 810$$, и $$a_1 + a_n = 180$$. Подставляем известные значения в формулу: $$810 = \frac{n(180)}{2}$$ $$810 = 90n$$ $$n = \frac{810}{90}$$ $$n = 9$$ Ответ: 9