Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала \frac{2}{9} всего участка пути, во второй день \frac{1}{7} оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?

1. Пусть x - весь участок пути в километрах.
2. В первый день бригада отремонтировала \(\frac{2}{9}\) всего участка пути, то есть \(\frac{2}{9}x\).
3. Оставшаяся часть пути после первого дня: \[1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\]
4. Во второй день бригада отремонтировала \(\frac{1}{7}\) оставшегося участка пути, то есть \(\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9}x = \frac{1}{9}x\).
5. В третий день бригада отремонтировала 6 км.
6. Составим уравнение, учитывая, что весь путь равен сумме путей за три дня: \[\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}x + 6 = x\]
7. Приведём дроби к общему знаменателю (9): \[\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}x + 6 = \frac{9}{9}x\] \[\frac{3}{9}x + 6 = \frac{9}{9}x\]
8. Перенесём \(\frac{3}{9}x\) в правую часть уравнения: \[6 = \frac{9}{9}x - \frac{3}{9}x\] \[6 = \frac{6}{9}x\]
9. Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на \(\frac{9}{6}\): \[x = 6 \cdot \frac{9}{6}\]
10. Вычисляем: \[x = \frac{6 \cdot 9}{6} = 9\]

Ответ: 9 км

Проверка за 10 секунд: Весь путь составляет 9 км. В первый день отремонтировали 2 км, во второй - 1 км, в третий - 6 км. 2 + 1 + 6 = 9 км. Все верно.

Доп. профит: Редфлаг: Внимательно следите за условием задачи. Не упустите важные детали, такие как "оставшаяся часть пути".