Пошаговое решение:
- В библиотеке — предложный падеж существительного «библиотека». Безударная гласная в корне. Проверочное слово — библиоте́ки.
- Участвовать — глагол. Безударная гласная в корне. Проверочное слово — участник.
Ответ: В библиотеке, участвовать