3. C = 90°, PC = CM; CA = 8 см. Найти: MP.

1. По условию, треугольник PCM - прямоугольный, угол C равен 90 градусам: $$\angle C = 90^\circ$$. 2. Также дано, что PC = CM. Значит, треугольник PCM - равнобедренный прямоугольный треугольник. 3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45 градусам. Следовательно, $$\angle CPM = \angle CMP = 45^\circ$$. 4. Рассмотрим треугольник PCA. Известно, что CA = 8 см. 5. Так как $$\angle CPM = 45^\circ$$, треугольник PCA также прямоугольный, и $$\angle PCA = 45^\circ$$ и $$\angle CAP = 45^\circ$$. 6. Так как CA - катет, и угол PCA = 45°, то PA = CA = 8 см, так как треугольник PCA равнобедренный. 7. Теперь найдем MP. MP = MA + AP. 8. Так как PC = CM, то CM = PC, и $$\angle CPM = \angle CMP = 45^\circ$$. 9. Рассмотрим треугольник ACM, $$\angle CAM = 90^\circ$$. 10. Поскольку CA = 8 см, a CM = PC, то треугольник PCM равнобедренный, и PC = CM. Тогда $$\angle CMP = 45^\circ$$. 11. Следовательно, AM = CA = 8 см (по условию задачи). 12. MP = AP + AM = 8 + 8 = 16 см. Ответ: MP = 16 см