C. 1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90°, радиус вписанной окружности равен $$r = \frac{a+b-c}{2}$$.

2. Также $$r = \frac{a}{2}$$ для катета, прилежащего к углу 60°, и $$r = \frac{b}{2}$$ для катета, прилежащего к углу 30°, если гипотенуза равна $$c$$.

3. В данном случае, один из углов 30°, значит другой острый угол 60°. Пусть $$a$$ - катет, противолежащий углу 30°, $$b$$ - катет, противолежащий углу 60°.

4. $$r = \frac{a+b-c}{2} = 5$$. $$a+b-c = 10$$.

5. В треугольнике с углами 30°, 60°, 90°: $$b = a\sqrt{3}$$, $$c = 2a$$.

6. Подставляем в уравнение: $$a + a\sqrt{3} - 2a = 10$$.

7. Упрощаем: $$a\sqrt{3} - a = 10$$, $$a(\sqrt{3}-1) = 10$$.

8. Находим $$a$$: $$a = \frac{10}{\sqrt{3}-1} = \frac{10(\sqrt{3}+1)}{3-1} = 5(\sqrt{3}+1)$$ см.

9. Находим $$b$$: $$b = a\sqrt{3} = 5(\sqrt{3}+1)\sqrt{3} = 5(3+\sqrt{3})$$ см.

10. Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} * 5(\sqrt{3}+1) * 5(3+\sqrt{3}) = \frac{25}{2} * (3\sqrt{3} + 3 + 3 + \sqrt{3}) = \frac{25}{2} * (4\sqrt{3} + 6) = 25(2\sqrt{3} + 3)$$ кв. см.