C. 2. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8 см. Найдите площадь трапеции.

1. В прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности, $$h = 2r$$.

2. Пусть $$O$$ - центр вписанной окружности, $$A$$ и $$B$$ - концы большей боковой стороны. Расстояния от $$O$$ до $$A$$ и $$B$$ равны 6 и 8.

3. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности, точкой касания на большей боковой стороне и одним из концов этой стороны.

4. Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности. Тогда $$r = 6$$ или $$r = 8$$. Так как $$r$$ - это расстояние от центра до касательной, а боковая сторона является касательной, то $$r$$ должно быть одним из этих значений.

5. Если $$r=6$$, то расстояние до другого конца будет $$\sqrt{6^2 + (a-b)^2} = 8$$. $$36 + (a-b)^2 = 64$$. $$(a-b)^2 = 28$$. $$a-b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$.

6. Если $$r=8$$, то расстояние до другого конца будет $$\sqrt{8^2 + (a-b)^2} = 6$$. $$64 + (a-b)^2 = 36$$. $$(a-b)^2 = -28$$, что невозможно.

7. Следовательно, $$r=6$$ см. Высота трапеции $$h = 2r = 12$$ см.

8. Разность оснований $$a-b = 2\sqrt{7}$$ см.

9. В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Одна боковая сторона равна высоте $$h=12$$. Другая боковая сторона $$c = \sqrt{h^2 + (a-b)^2} = \sqrt{12^2 + (2\sqrt{7})^2} = \sqrt{144 + 28} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$$.

10. $$a+b = h+c = 12 + 2\sqrt{43}$$.

11. Решаем систему: $$a-b = 2\sqrt{7}$$ и $$a+b = 12 + 2\sqrt{43}$$.

12. $$2a = 12 + 2\sqrt{43} + 2\sqrt{7}$$, $$a = 6 + \sqrt{43} + \sqrt{7}$$.

13. $$2b = 12 + 2\sqrt{43} - 2\sqrt{7}$$, $$b = 6 + \sqrt{43} - \sqrt{7}$$.

14. Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2} * h = \frac{12 + 2\sqrt{43}}{2} * 12 = (6 + \sqrt{43}) * 12 = 72 + 12\sqrt{43}$$ кв. см.