C-15. 1. На рисунке 111 AB=BD=BC, BE\(\DC\). Докажите, что DC\(\AC\). 2. На рисунке 112 BE\(\AF\), AB\(\DE\), AB=CD. Докажите, что \(\triangle\) BCE = \(\triangle\) ADF.

Решение:

1. 1. Доказательство:
   По условию \( AB = BD = BC \). Это значит, что \( \triangle ABD \) и \( \triangle BCD \) — равнобедренные. В равнобедренном \( \triangle ABD \) \( \angle BAD = \angle BDA \). В равнобедренном \( \triangle BCD \) \( \angle BDC = \angle BCD \).
   Так как \( BD = BC \), то \( \angle BDC = \angle BCD \).
   Из условия \( BE \perp DC \), значит \( \angle BED = 90^{\circ} \).
   Рассмотрим \( \triangle BCD \). Сумма углов равна \( 180^{\circ} \). \( \angle DBC + \angle BDC + \angle BCD = 180^{\circ} \).
   Из условия \( BE \parallel DC \) и \( DC \perp AC \) следует, что \( BE \perp AC \).
   Доказательство равенства треугольников:
   Дано: \( BE \parallel AF \), \( AB \parallel DE \), \( AB = CD \).
   Доказать: \( \triangle BCE = \triangle ADF \).
   Из \( AB \parallel DE \) и \( AB=CD \) следует, что ABCD — параллелограмм, тогда \( AD = BC \) и \( DE = AB \).
   Из \( BE \parallel AF \) и \( AB \parallel DE \) следует, что ABED — параллелограмм. Тогда \( BE = AD \) и \( AB = DE \).
   В \( \triangle BCE \) и \( \triangle ADF \):
   1. \( BC = AD \) (противоположные стороны параллелограмма ABCD).
   2. \( BE = AD \) (противоположные стороны параллелограмма ABED). Значит, \( BC = BE \).
   3. \( \angle BCE = \angle DAF \) (накрест лежащие при \( BE \parallel AF \) и секущей AC, или накрест лежащие при \( AB \parallel DE \) и секущей AC).
   Недостаточно данных для доказательства равенства треугольников.