C-19. 1. В треугольнике ABC BB₁ — медиана. Докажите, что BB₁ < 0,5 (AB + BC). 2. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Из вершины C вне треугольника проведен луч CD так, что угол BCD равен 109°59′. Может ли выполняться равенство AD=AC+CD?

Решение:

1. 1. Доказательство:
   BB₁ — медиана, значит, \( AB_1 = B_1C \).
   Рассмотрим \( \triangle ABB_1 \) и \( \triangle CBB_1 \).
   По неравенству треугольника в \( \triangle ABB_1 \): \( BB_1 < AB + AB_1 \).
   По неравенству треугольника в \( \triangle CBB_1 \): \( BB_1 < BC + CB_1 \>.
   Сложим оба неравенства:
   \( 2 BB_1 < AB + AB_1 + BC + CB_1 \>.
   Так как \( AB_1 = CB_1 \), то \( 2 BB_1 < AB + BC + 2 AB_1 \>.
   \( 2 BB_1 < AB + BC + AC \>.
   Для доказательства \( BB_1 < 0,5 (AB + BC) \) требуется дальнейшее построение или использование другой теоремы.
2. 2. Проверка равенства AD=AC+CD:
   В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle B = 70^{\circ} \).
   Сумма углов \( \triangle ABC = 180^{\circ} \), поэтому \( \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 70^{\circ} = 70^{\circ} \>.
   Так как \( \angle B = \angle C = 70^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = AC \>.
   \( \angle BCD = 109^{\circ} 59' \>.
   Равенство \( AD = AC + CD \) может выполняться, если точки A, C, D лежат на одной прямой в таком порядке. Однако, C — вершина треугольника, и луч CD проведен вне треугольника.
   Учитывая, что \( \angle ACB = 70^{\circ} \), а \( \angle BCD = 109^{\circ} 59' \), то \( \angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = 70^{\circ} + 109^{\circ} 59' = 179^{\circ} 59' \>.
   Это означает, что точки A, C, D почти лежат на одной прямой. В этом случае, если бы \( \angle ACD = 180^{\circ} \), то AD = AC + CD. Практически, это возможно, если угол AC D очень близок к 180 градусам.