C-20. 1. В треугольнике ABC угол ACB тупой. Продолжения высот AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что \(\angle\) OBC = 90° - \(\angle\) BAC. CD — высота треугольника, \(\angle\) BCD = 30°. 2. В треугольнике ABC проведена высота BE, пересекающая AC в точке E. Найдите площадь \(\triangle\) AEC, если AC = 30 см. 3. В треугольнике ABC проведена высота BE, пересекающая AC в точке E. Найдите площадь \(\triangle\) AEC, если AC = 30 см.

Решение:

1. 1. Доказательство \( \angle OBC = 90^{\circ} - \angle BAC \):
   В \( \triangle ABC \) \( \angle ACB \) тупой. Высоты AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O (ортоцентр).
   Рассмотрим \( \triangle OCB \). \( OB \) — высота, значит \( OB \perp AC \) (или ее продолжение). \( OC \) — высота, значит \( OC \perp AB \) (или ее продолжение).
   Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( \angle OBC = ? \), \( \angle OCB = ? \>.
   Так как \( BB_1 \) — высота, \( BB_1 \perp AC \>. Значит, \( \angle OBC = 90^{\circ} - \angle BOC \>.
   В \( \triangle AOC \) \( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \>.
   \( \angle OAC = 90^{\circ} - \angle BAC \>.
   \( \angle OCA = 90^{\circ} - \angle OAC \>.
   Недостаточно данных для доказательства.
   
   2. Нахождение площади \( \triangle AEC \):
   В условии задачи есть противоречие: пункт 2 и пункт 3 повторяют одно и то же условие.
   Дано: \( \triangle ABC \), высота \( BE \perp AC \>.
   \( AC = 30 \) см.
   Найти: Площадь \( \triangle AEC \>.
   Площадь \( \triangle AEC = \frac{1}{2} AE h \), где \( h \) — высота, проведенная из \( E \) к \( AC \>.
   Однако, \( BE \) уже является высотой \( \triangle ABC \>.
   Для нахождения площади \( \triangle AEC \) недостаточно данных. Необходимо знать длину \( AE \) или \( EC \) или высоту, проведенную к \( AC \) из \( E \) (что является \( BE \>.