C-25 1. ABCD – квадрат, \(AC = 10\sqrt{2}\), O – середина AD. С центром в точке O проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы окружность: а) касалась прямых AB и CD; б) не имела с ними общих точек; в) имела бы две общие точки с каждой прямой? 2. На касательной к окружности от точки касания C отложены по обе стороны от нее два отрезка CA и CB, причем \(\angle AOC = \angle BOC\) (O – центр окружности). Радиус окружности равен 8, AB = 30. Найдите расстояние от центра окружности до точек A и B.

1. а) Чтобы окружность касалась прямых AB и CD, её радиус должен быть равен половине стороны квадрата. Диагональ квадрата связана со стороной следующим образом: \(AC = a\sqrt{2}\), где \(a\) – сторона квадрата. Дано, что \(AC = 10\sqrt{2}\), следовательно, \(a = 10\). Так как O – середина AD, то радиус окружности должен быть равен половине стороны квадрата, то есть \(r = a/2 = 10/2 = 5\). б) Чтобы окружность не имела общих точек с прямыми AB и CD, радиус должен быть меньше, чем половина стороны квадрата, то есть \(r < 5\). в) Чтобы окружность имела две общие точки с каждой прямой, радиус должен быть больше, чем половина стороны квадрата, то есть \(r > 5\). 2. Пусть O – центр окружности, а CA и CB – отрезки на касательной к окружности в точке C, причем \(\angle AOC = \angle BOC\). Это означает, что OC – биссектриса угла AOB и треугольники AOC и BOC равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, \(OA = OB\), и треугольник AOB равнобедренный. OC – высота и медиана в треугольнике AOB, следовательно, AC = CB = AB/2 = 30/2 = 15. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC (OC – радиус, AC – касательная). По теореме Пифагора: \(OA^2 = OC^2 + AC^2\), где OC = 8 и AC = 15. Тогда: \(OA^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\) \(OA = \sqrt{289} = 17\) Так как OA = OB, то расстояние от центра окружности до точек A и B равно 17. Ответ: 1. а) 5; б) r < 5; в) r > 5. 2. 17.