C-26 1. В окружности с центром в точке O проведены два радиуса OA и OB так, что расстояние от точки A до радиуса OB в два раза меньше длины радиуса. Найдите градусную меру дуги AB. 2. В окружности проведены диаметр AB и хорда AC. Найдите угол BAC, если градусные меры дуг AC и CB относятся как 7 : 2.

1. Пусть радиус окружности равен R. Тогда расстояние от точки A до радиуса OB равно R/2. Опустим перпендикуляр AH на OB. Тогда AH = R/2. В прямоугольном треугольнике OAH, \(\sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}\). Следовательно, \(\angle AOH = 30^\circ\). Тогда дуга AB, соответствующая углу \(\angle AOB\), равна 30 градусам. 2. Пусть градусная мера дуги AC равна 7x, а градусная мера дуги CB равна 2x. Так как AB – диаметр, то дуга ACB равна 180 градусам. Значит, 7x + 2x = 180. Отсюда, 9x = 180, и x = 20. Тогда дуга AC равна 7 * 20 = 140 градусов, а дуга CB равна 2 * 20 = 40 градусов. Угол BAC является вписанным углом и опирается на дугу BC. Следовательно, угол BAC равен половине градусной меры дуги BC, то есть \(\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ\). Ответ: 1. 30 градусов. 2. 20 градусов.