C-27 1. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E: EB = 1:3, CD = 20, DE = 5. Найдите AB. 2. AB – диаметр окружности. Точка E лежит на хорде AB. EF \(\perp\) AB, FB = 4, EF = 6. Найдите радиус окружности.

1. Пусть EB = x, тогда AE = 3x. Известно, что при пересечении двух хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, \(AE \cdot EB = CE \cdot ED\). Из условия CD = 20 и DE = 5, следовательно, CE = CD - DE = 20 - 5 = 15. Тогда, \(3x \cdot x = 15 \cdot 5\) \(3x^2 = 75\) \(x^2 = 25\) \(x = 5\) Следовательно, EB = 5, а AE = 3 * 5 = 15. Тогда AB = AE + EB = 15 + 5 = 20. 2. Пусть O – центр окружности, и R – её радиус. Так как AB – диаметр, то OB = R. Тогда OE = OB - EB = R - 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OEF. По теореме Пифагора, \(OE^2 + EF^2 = OF^2\), где OF = R. Тогда, \((R - 4)^2 + 6^2 = R^2\) \(R^2 - 8R + 16 + 36 = R^2\) \(-8R + 52 = 0\) \(8R = 52\) \(R = \frac{52}{8} = \frac{13}{2} = 6.5\) Ответ: 1. 20 2. 6.5