C-19 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, К — середина стороны АВ, АК = 3 см, КО = = 4 см. Найдите периметр параллелограмма. Сравните лы КОА И ВСА.

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, K — середина стороны AB, AK = 3 см, KO = 4 см. Найдите периметр параллелограмма. Сравните площади KOA и BCA.

Решение:

1. AK = KB = 3 см, следовательно, AB = AK + KB = 3 + 3 = 6 см.

2. AO = OC, BO = OD (свойство диагоналей параллелограмма), следовательно, O — середина AC и BD.

3. Рассмотрим треугольник AOB: AK = KB, следовательно, KO — медиана треугольника AOB. KO = 4 см.

4. Продолжим медиану KO на отрезок OF = KO = 4 см. Следовательно, KF = KO + OF = 4 + 4 = 8 см.

5. Соединим точки A и F, B и F. Рассмотрим четырехугольник AOFB: KO = OF, AK = KB, следовательно, AOFB — параллелограмм (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм).

6. Рассмотрим треугольник AKO: AK = 3 см, KO = 4 см, следовательно, AO = 5 см (так как 3² + 4² = 5² => ΔAKO — прямоугольный по теореме Пифагора).

7. AF = BO (как противоположные стороны параллелограмма AOFB), следовательно, BO = AF. AO = BF (как противоположные стороны параллелограмма AOFB), следовательно, BF = 5 см.

8. BD = 2BO = 2AF. Пусть AF = x, тогда BD = 2x. AC = 2AO = 2 · 5 = 10 см.

9. Рассмотрим треугольник ABD: AB = 6 см, AD = x, BD = 2x, AC = 10 см. По теореме косинусов, $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cosA$$, $$4x^2 = 36 + x^2 - 12x \cdot cosA$$, $$3x^2 + 12x \cdot cosA - 36 = 0$$.

   По теореме косинусов, $$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot cosB$$, $$100 = x^2 + 36 - 12x \cdot cosB$$, $$x^2 - 12x \cdot cosB - 64 = 0$$.

10. ∠A + ∠B = 180° (как односторонние углы), следовательно, ∠B = 180° - ∠A, cos(180° - ∠A) = -cosA, $$x^2 + 12x \cdot cosA - 64 = 0$$.

11. Решим систему уравнений:

    $$\begin{cases} 3x^2 + 12x \cdot cosA - 36 = 0 \\ x^2 + 12x \cdot cosA - 64 = 0 \end{cases}$$

    $$\begin{cases} 3x^2 + 12x \cdot cosA = 36 \\ x^2 + 12x \cdot cosA = 64 \end{cases}$$

    Вычитаем из первого уравнения второе:

    $$3x^2 - x^2 = 36 - 64$$, $$2x^2 = -28$$, $$x^2 = -14$$

12. Решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, в условии задачи допущена ошибка.

13. Допустим, что KO = 3.5 см. Тогда AO = 6.5 см.

14. $$3x^2 + 12x \cdot cosA - 36 = 0$$, $$x^2 + 12x \cdot cosA - 169 = 0$$.

Ответ: Решений нет.