C1. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точки E и F лежат на сторонах AC и AB соответственно так, что углы AFE и ABC равны. Луч EK (K лежит на стороне AB) делит угол AEF на два угла, один из которых в два раза больше другого. Найдите величину угла AEK.

Так как ∠C = 90° и ∠AFE = ∠ABC, треугольники AFE и ABC подобны по двум углам. Их третий угол при A также равен, а поскольку E лежит на AC и F, K — на AB, он совпадает с углом BAC.

Следовательно, ∠AEF = 90°. Луч EK делит этот угол на части в отношении 1:2. Пусть меньшая часть равна x, тогда большая равна 2x, и x + 2x = 90°, откуда x = 30°. Луч EK может образовывать с EA меньший или больший из этих углов; по данному условию, что один угол вдвое больше другого, без указания, какой именно из двух смежных с лучом EK углов является ∠AEK, возможны оба значения.

Ответ: ∠AEK = 30° или 60°.