C1. Докажите тождество: 4/(a² − 4a) − a²/(4 − a) = a + 4 + (16a + 4)/(a² − 4a).

Область допустимых значений: \(a\ne 0\) и \(a\ne 4\).

Преобразуем левую часть, учитывая, что \(4-a=-(a-4)\):

\(\frac{4}{a^2-4a}-\frac{a^2}{4-a}=\frac{4}{a(a-4)}+\frac{a^2}{a-4}=\frac{4+a^3}{a(a-4)}.\)

Преобразуем правую часть:

\(a+4+\frac{16a+4}{a^2-4a}=\frac{(a+4)a(a-4)+16a+4}{a(a-4)}=\frac{a^3-16a+16a+4}{a(a-4)}=\frac{a^3+4}{a(a-4)}.\)

Левая и правая части равны при всех допустимых значениях \(a\), следовательно, тождество доказано.