C1. Найдите координаты точки пересечения прямых AB и CK, если A(-2; 2), B(2; -1,5), C(-5; 0), K(2; 3).

Решение:

1. Найдём уравнение прямой AB.

Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1.5 - 2}{2 - (-2)} = \frac{-3.5}{4} = -0.875 \).

Уравнение прямой: \( y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \)

\[ y - 2 = -0.875(x - (-2)) \]

\[ y - 2 = -0.875x - 1.75 \]

\[ y = -0.875x + 0.25 \]

2. Найдём уравнение прямой CK.

Угловой коэффициент \( k_{CK} = \frac{y_K - y_C}{x_K - x_C} = \frac{3 - 0}{2 - (-5)} = \frac{3}{7} \).

Уравнение прямой: \( y - y_C = k_{CK}(x - x_C) \)

\[ y - 0 = \frac{3}{7}(x - (-5)) \]

\[ y = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \]

3. Найдём точку пересечения прямых, приравняв их уравнения.

\[ -0.875x + 0.25 = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \]

Переведём десятичные дроби в обыкновенные:

\[ -\frac{7}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ \frac{1}{4} - \frac{15}{7} = \frac{3}{7}x + \frac{7}{8}x \]

\[ \frac{7 - 60}{28} = \frac{24 + 49}{56}x \]

\[ -\frac{53}{28} = \frac{73}{56}x \]

Выразим \( x \):

\[ x = -\frac{53}{28} \cdot \frac{56}{73} = -\frac{53 \cdot 2}{73} = -\frac{106}{73} \]

Теперь найдём \( y \), подставив \( x \) в уравнение прямой CK:

\[ y = \frac{3}{7}\left(-\frac{106}{73}\right) + \frac{15}{7} = -\frac{318}{511} + \frac{15 \cdot 73}{7 \cdot 73} = \frac{-318 + 1095}{511} = \frac{777}{511} = \frac{3 \cdot 259}{7 \cdot 73} \]

Сократим 777 и 511 на 7: \( 777/7 = 111 \), \( 511/7 = 73 \). Получим \( y = \frac{111}{73} \).

Ответ: Точка пересечения имеет координаты (\(-\frac{106}{73}\); \(\frac{111}{73}\)).