C1. В параллелограмме ABCD \(BD=2\sqrt{41}\) см, \(AC=26\) см, \(AD=16\) см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма O проведена прямая, перпендикулярная стороне BC. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.

Пусть прямая через точку \(O\), перпендикулярная \(BC\), пересекает сторону \(AD\) в точке \(K\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=13\) см и \(BO=\sqrt{41}\) см.

Так как \(OK\perp BC\), а \(AD\parallel BC\), то \(OK\perp AD\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(16,0)\), \(B=(u,v)\). Из \(AB^2+AD^2=\dfrac{AC^2+BD^2}{2}\) получаем \(AB^2+256=\dfrac{676+164}{2}=420\), значит \(AB^2=164\). Следовательно, \(u^2+v^2=164\). Так как \(AC=26\), то \((u+16)^2+v^2=676\), откуда \(32u+256=512\), поэтому \(u=8\). Точка \(O\) имеет координаты \((12,\frac v2)\), значит перпендикуляр к \(AD\) пересекает её в точке \(K=(12,0)\).

Следовательно, \(AK=12\) см, \(KD=16-12=4\) см.

Ответ: 12 см и 4 см.