C1. В равнобедренном треугольнике ABC дано: AC = BC, AB = 10 см, ∠C = 90°, CM — медиана. Найдите величину |AB⃗ − AC⃗ + BM⃗|. Ответ: ______

Так как M — середина AB, то \(\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BA}=-\frac12\overrightarrow{AB}\).

По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\). Поэтому \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}\).

Учитывая \(\overrightarrow{BM}=-\frac12\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\), получаем выражение \(\frac12(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC})\). Катеты AC и CB равны, а угол C прямой, следовательно, эти векторы перпендикулярны. Тогда длина выражения равна \(\frac12\sqrt{AC^2+CB^2}\).

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой AB = 10 см и равными катетами следует \(AC=CB=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\) см. Значит, искомая длина \(\frac12\sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2}=5\) см.

Ответ: 5 см.