C1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной \(a\) и высотой \(h\), проведённой к основанию, найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведённой к боковой стороне.

Пусть равнобедренный треугольник имеет боковые стороны длины \(a\), а высоту к основанию — \(h\). Высота делит основание пополам. Обозначим половину основания через \(x\).

Из прямоугольного треугольника:

\[x^2+h^2=a^2,\qquad x^2=a^2-h^2.\]

Медиана к боковой стороне равна медиане треугольника к стороне длины \(a\). По формуле медианы:

\[m=\frac12\sqrt{2a^2+2a^2-b^2},\]

где основание \(b=2x\). Поэтому

\[m=\frac12\sqrt{4a^2-4x^2}=\sqrt{a^2-x^2}.\]

С учётом \(x^2=a^2-h^2\) получаем:

\[m=\frac12\sqrt{9a^2-8h^2}.\]

Ответ: \(\displaystyle \frac12\sqrt{9a^2-8h^2}\).