C1. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали ромба BD, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, то \(BM\perp AD\), и треугольник ABM прямоугольный. В нём \(\angle ABM=30^\circ\), а сторона AM, лежащая напротив этого угла, равна 4 см.

В прямоугольном треугольнике напротив угла 30° лежит половина гипотенузы, поэтому \(AB=2\cdot AM=8\) см. Все стороны ромба равны, значит \(AD=8\) см, и \(MD=AD-AM=4\) см.

Треугольник BMD прямоугольный. По теореме Пифагора:

\(BD=\sqrt{BM^2+MD^2}\). Из треугольника ABM следует \(BM=4\sqrt{3}\), поэтому \(BD=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{48+16}=8\) см.

Ответ: 8 см.