B2. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Так как \(\angle ADB=30^\circ\), а \(BD\perp AB\), треугольник \(ABD\) прямоугольный, причём \(\angle A=60^\circ\). Поэтому это треугольник соотношения сторон \(1:\sqrt3:2\):

\[AB=\frac{AD}{2},\qquad BD=\frac{\sqrt3}{2}AD.\]

Поскольку \(AB\parallel CD\), угол между \(BD\) и \(CD\) равен углу между \(BD\) и \(AB\), то есть \(90^\circ\). Но по условию \(\angle BDC=30^\circ\); следовательно, в принятой конфигурации основаниями являются \(AD\parallel BC\), а боковыми сторонами — \(AB\) и \(CD\). Тогда из треугольника \(BDC\) получаем аналогично:

\[CD=\frac{BC}{2},\qquad BD=\frac{\sqrt3}{2}BC.\]

Отсюда \(AD=BC\), а сумма боковых сторон равна сумме соответствующих половин оснований. Поэтому

\[P=AD+BC+AB+CD=2AD+\frac{AD}{2}+\frac{AD}{2}=3AD.\]

\[AD=\frac{60}{3}=20\text{ см}.\]

Ответ: 20 см.