C2. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (в км/ч). Скорость течения реки равна \( 5 \) км/ч.

Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{40}{v+5} \) часов.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{30}{v-5} \) часов.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.

Составим уравнение:

\[ \frac{40}{v+5} + \frac{30}{v-5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v+5)(v-5) = v^2 - 25 \), чтобы избавиться от знаменателей (при условии \( v > 5 \), так как баржа движется против течения):

\[ 40(v-5) + 30(v+5) = 5(v^2 - 25) \]

Раскроем скобки:

\[ 40v - 200 + 30v + 150 = 5v^2 - 125 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 70v - 50 = 5v^2 - 125 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ 5v^2 - 70v - 125 + 50 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 5v^2 - 70v - 75 = 0 \]

Разделим обе части на 5:

\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \).
2. Найдём корни: \( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).
• \( v_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15 \)
• \( v_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, посторонний корень \( v_2 = -1 \) отбрасываем. Также проверяем условие \( v > 5 \), \( 15 > 5 \), что верно.

Ответ: Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.