C2. В трапеции ABCD BC и AD — основания, BC: AD = 4 : 5. Площадь треугольника ACD равна 35 см². Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( BC = a \) и \( AD = b \). По условию \( a : b = 4 : 5 \), значит \( a = 4k \) и \( b = 5k \) для некоторого \( k \).

Высота трапеции \( h \) — это расстояние между основаниями BC и AD. Треугольники ABC и ACD имеют одинаковую высоту \( h \), так как их вершины B и D лежат на прямой, параллельной основанию AC.

Площадь треугольника ACD: \( S_{ACD} = \frac{1}{2} · AD · h = \frac{1}{2} · b · h \).

Нам дана площадь \( S_{ACD} = 35 \text{ см}^2 \).

\[ \frac{1}{2} · b · h = 35 \]

\[ b · h = 70 \]

Площадь трапеции ABCD: \( S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} · h = \frac{a+b}{2} · h \).

Подставим \( a = 4k \) и \( b = 5k \):

\[ S_{ABCD} = \frac{4k+5k}{2} · h = \frac{9k}{2} · h \]

Из \( b · h = 70 \) и \( b = 5k \) имеем \( 5k · h = 70 \), откуда \( k · h = \frac{70}{5} = 14 \).

Теперь подставим \( k · h = 14 \) в формулу площади трапеции:

\[ S_{ABCD} = \frac{9}{2} · (k · h) = \frac{9}{2} · 14 = 9 · 7 = 63 \text{ см}^2 \]

Ответ: 63 см².