B1. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 26 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 10 см.

Решение:

Пусть большее основание трапеции равно \( b \), меньшее — \( a \). Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка: \( x \) и \( b - x \). По условию, один из этих отрезков равен 26 см, а высота \( h = 10 \) см.

В равнобедренной трапеции, если провести высоту из тупого угла, она отсечет от большего основания отрезок, равный меньшему основанию, и еще один отрезок, равный \( \frac{b-a}{2} \).

\( x = a \) и \( b - x = 26 \). Или \( x = \frac{b-a}{2} \) и \( b - x = 26 \).

Рассмотрим первый случай: \( x = a \) и \( b - a = 26 \). Большее основание \( b = a + 26 \).

Площадь трапеции: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{a + (a + 26)}{2} \cdot 10 = \frac{2a + 26}{2} \cdot 10 = (a + 13) \cdot 10 = 10a + 130 \).

Мы не можем однозначно определить площадь, так как неизвестно одно из оснований.

Рассмотрим второй случай: больший отрезок, равный 26 см, является суммой меньшего основания и части большего основания, т.е. \( a + \frac{b-a}{2} = 26 \). А меньший отрезок равен \( \frac{b-a}{2} = b-26 \). Это не согласуется с условием.

Давайте переосмыслим условие. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание. Пусть большее основание — \( b \), меньшее — \( a \). Высота \( h=10 \). Большее основание делится на отрезки \( x_1 \) и \( x_2 \) так, что \( x_1 + x_2 = b \). Один из этих отрезков — \( x_i = 26 \).

В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины тупого угла, она делит большее основание на два отрезка. Длина большего отрезка равна сумме меньшего основания и половины разности оснований: \( b_{больший \, отр.} = a + \frac{b-a}{2} \).

Длина меньшего отрезка равна половине разности оснований: \( b_{меньший \, отр.} = \frac{b-a}{2} \).

По условию, больший из этих отрезков равен 26 см. То есть \( a + \frac{b-a}{2} = 26 \). У нас есть два неизвестных \( a \) и \( b \), но мы знаем \( h = 10 \).

Если \( a + \frac{b-a}{2} = 26 \), то \( \frac{2a + b - a}{2} = 26 \) => \( \frac{a+b}{2} = 26 \).

Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Мы нашли, что \( \frac{a+b}{2} = 26 \) (это полусумма оснований).

\( S = 26 \cdot 10 = 260 \) см².

Ответ: 260 см².