Часть 2. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 6x - x² и осью абсцисс.

Решение:

1. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 6x - x^2 \) и осью абсцисс ( \( y=0 \) ), нам нужно найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю:

\( 6x - x^2 = 0 \)

\( x(6 - x) = 0 \)

Отсюда получаем корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 6 \).

2. График функции \( f(x) = 6x - x^2 \) — парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Следовательно, на промежутке \( [0, 6] \) функция принимает положительные значения, и площадь будет вычисляться как определённый интеграл от \( f(x) \) по этому промежутку.

3. Вычислим определённый интеграл:

\( S = \int_{0}^{6} (6x - x^2) dx \)

Найдём первообразную функции \( 6x - x^2 \):

\( F(x) = \int (6x - x^2) dx = 6 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x^2 - \frac{x^3}{3} \)

4. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = F(6) - F(0) \)

\( F(6) = 3(6)^2 - \frac{(6)^3}{3} = 3 \cdot 36 - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36 \)

\( F(0) = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} = 0 - 0 = 0 \)

\( S = 36 - 0 = 36 \)

Ответ: Площадь фигуры равна 36.