1. Чему равна высота правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b? a) h=√ b² - 3a²; б) h=√ b² - a²/3; в) h=√ 3b² - a².

Для правильной треугольной пирамиды высота (h), сторона основания (a) и боковое ребро (b) связаны следующим соотношением. Центр основания (правильного треугольника) является точкой пересечения медиан, которые делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние от вершины до центра основания составляет 2/3 от длины медианы. Медиана в правильном треугольнике также является высотой и биссектрисой. Высота правильного треугольника равна $$a\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Значит, расстояние от вершины до центра основания равно $$\frac{2}{3} \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} = a\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), боковым ребром (b) и расстоянием от вершины основания до центра основания. По теореме Пифагора:

$$h^2 + (a\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = b^2$$

$$h^2 + \frac{3a^2}{9} = b^2$$

$$h^2 + \frac{a^2}{3} = b^2$$

$$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{3}$$

$$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$$.

Ответ: б) $$h=\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$$