91. Через каждую из двух параллельных прямых a и b и точку M, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b.

Доказательство:

Обозначим плоскость, проходящую через прямую a и точку M, как α, а плоскость, проходящую через прямую b и точку M, как β. Так как обе плоскости α и β проходят через точку M, то M лежит на линии пересечения плоскостей α и β. Прямые a и b параллельны, следовательно a || b. Если плоскости α и β пересекаются по прямой, которая не параллельна a и b, то эта прямая либо пересекает a, либо пересекает b. Но если прямая пересекает прямую a (или b), то плоскость α (или β) должна содержать точку пересечения прямой и плоскости, что противоречит условию, что M не лежит в плоскости этих прямых. Значит, плоскости α и β пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b.