88. Параллельные прямые AC и BD пересекают плоскость α в точках A и B. Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости α, AC = 8 см, BD = 6 см, AB = 4 см. a) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке E. б) Найдите отрезок BE.

а) Доказательство:

Так как AC и BD параллельны, то они лежат в одной плоскости, обозначим ее β. Плоскости α и β пересекаются по прямой AB. Прямая CD лежит в плоскости β. Если CD не пересекает плоскость α, то CD параллельна α. Но так как CD не параллельна AB (иначе ACDB был бы параллелограммом, а это не так, т.к. AC ≠ BD), то CD пересекает α в некоторой точке E.

б) Найдем отрезок BE:

Рассмотрим трапецию ACDB. Прямая CD пересекает плоскость α в точке E, которая лежит на прямой AB. Следовательно, E лежит на продолжении прямой AB. Треугольники ACE и BDE подобны по двум углам (∠AEC = ∠BED как вертикальные, ∠CAE = ∠DBE как накрест лежащие при AC || BD и секущей AB). Из подобия треугольников следует отношение:

$$\frac{BE}{AE} = \frac{BD}{AC}$$

Пусть BE = x, тогда AE = AB + BE = 4 + x.

$$\frac{x}{4+x} = \frac{6}{8}$$ $$8x = 24 + 6x$$ $$2x = 24$$ $$x = 12$$

Ответ: BE = 12 см.