Через точку А, лежащую на сфере диаметром 24 см, к сфере проведена касательная плоскость. В этой плоскости выбрана точка В. Найдите длину отрезка АВ, если крат- чайшее расстояние от точки В до точки сферы равно 1 см.

1. Дано: диаметр сферы D = 24 см, следовательно, радиус R = 12 см. Кратчайшее расстояние от точки B до сферы равно 1 см. Обозначим это расстояние как d = 1 см.

2. Пусть O - центр сферы, A - точка касания, B - точка в касательной плоскости. Тогда OA - радиус сферы, проведенный в точку касания, и OA перпендикулярен касательной плоскости.

3. Расстояние от точки B до сферы равно 1 см, следовательно, расстояние от точки B до поверхности сферы вдоль прямой, проходящей через центр сферы, равно 1 см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB, где OA = R = 12 см. Расстояние OB можно найти, зная, что кратчайшее расстояние от B до сферы равно 1 см. Следовательно, OB = R + 1 = 12 + 1 = 13 см.

5. По теореме Пифагора: $$AB^2 + OA^2 = OB^2$$

6. $$AB^2 + 12^2 = 13^2$$

7. $$AB^2 = 169 - 144 = 25$$

8. $$AB = \sqrt{25} = 5$$ см.

Ответ: 5 см