Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке $K$. Другая прямая пересекает окружность в точках $B$ и $C$, причём $AB=3$, $BC=12$. Найдите длину отрезка $AK$.

По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, имеем: $AK^2 = AB \cdot AC$ Где $AC = AB + BC = 3 + 12 = 15$. Тогда: $AK^2 = 3 \cdot 15 = 45$ $AK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ Ответ: $3\sqrt{5}$