Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, $BC=11$, $AD=15$, $AC = 52$. Найдите длину отрезка $AO$.

Так как $BC$ и $AD$ - основания трапеции, то треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны. Значит, отношение соответствующих сторон равно: $\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{11}{15}$ Пусть $CO = 11x$, тогда $AO = 15x$. Так как $AC = AO + CO$, то $52 = 15x + 11x = 26x$. Отсюда $x = \frac{52}{26} = 2$. Тогда $AO = 15x = 15 \cdot 2 = 30$. Ответ: 30