668 Докажите, что перпендикуляр, проведен ой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональ- ное для отрезков, на которые основание перпендикуляра де- лит диаметр.

Для доказательства данного утверждения необходимо воспользоваться свойством секущей и касательной, проведенных из одной точки вне окружности, а также теоремой Пифагора. 1. Проведем окружность с диаметром AB. 2. Отметим точку C на окружности и проведем перпендикуляр CD к диаметру AB. 3. Пусть AD = x, DB = y, CD = h (высота). 4. Требуется доказать, что $$h^2 = x \cdot y$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и CDB. Угол ACB прямой, так как опирается на диаметр. Из прямоугольного треугольника ADC имеем: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + h^2$$. Из прямоугольного треугольника CDB имеем: $$BC^2 = DB^2 + CD^2 = y^2 + h^2$$. Применим теорему Пифагора к треугольнику ABC: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$. Тогда: $$(x^2 + h^2) + (y^2 + h^2) = (x + y)^2$$; $$x^2 + 2h^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$$; $$2h^2 = 2xy$$; $$h^2 = xy$$. Таким образом, CD есть среднее пропорциональное между AD и DB, что и требовалось доказать. Ответ: Доказано, что перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.