Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10. Ответ:

Обозначим высоту всего конуса за H, радиус основания за R, а объем всего конуса за V. Тогда объем отсеченного конуса (меньшего) равен 10. Высота отсеченного конуса составляет 1/4 от высоты всего конуса, то есть H/4. Плоскость, параллельная основанию, делит конус таким образом, что меньший конус подобен большему.

Коэффициент подобия $$k = \frac{H/4}{H} = \frac{1}{4}$$. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{отсеченного}}}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$$.

Таким образом, объем отсеченного конуса составляет 1/64 часть объема всего конуса: $$V_{\text{отсеченного}} = \frac{V}{64}$$.

Так как объем отсеченного конуса равен 10, то $$10 = \frac{V}{64}$$. Отсюда находим объем всего конуса: $$V = 10 \cdot 64 = 640$$.

Ответ: 640