Через точку M, не лежащую на прямой a, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой a. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая a являются скрещивающимися прямыми.

Доказательство:

1. Предположим обратное: обе прямые, проходящие через точку M и не пересекающие прямую a, лежат с прямой a в одной плоскости.
2. Тогда прямая a и точка M определяют некоторую плоскость α.
3. Пусть b и c - прямые, проходящие через M и не пересекающие a.
4. Если b и c лежат в плоскости α, то они параллельны прямой a (так как не пересекают её).
5. Но тогда через точку M проходят две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме параллельности (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной).
6. Следовательно, наше предположение неверно, и по крайней мере одна из прямых b или c не лежит в плоскости с прямой a.
7. Это означает, что по крайней мере одна из этих прямых является скрещивающейся с прямой a.

Что и требовалось доказать.