1. Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2см, проведена прямая OM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки M до вершин квадрата, если OM = 3см.

Рассмотрим квадрат ABCD, где O - точка пересечения диагоналей. OM перпендикулярна плоскости квадрата, значит, OM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, OA, OB, OC, OD. Все вершины квадрата находятся на одинаковом расстоянии от точки O, поэтому достаточно найти расстояние от точки M до одной из вершин, например, до вершины A. Треугольник OMA - прямоугольный, так как угол MOA прямой. По теореме Пифагора, MA = √(OM² + OA²). Нам известно, что OM = 3см. Чтобы найти OA, рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где AB = 2см. OA - это половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна a√2, где a - сторона квадрата. В нашем случае, диагональ квадрата равна 2√2см. Тогда OA = (2√2)/2 = √2см. Теперь подставим известные значения в формулу MA: MA = √(3² + (√2)² ) = √(9 + 2) = √11см. Ответ: √11 см.