Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 21, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.

1. **Обозначения:** Пусть \( AB=c \), \( AC=b \), \( BC=a \), \( AP=21 \). Дано, что \( a = \frac{c}{1.5} = \frac{2}{3} c \). 2. **Теорема о секущих:** Поскольку точки K, P, B и C лежат на одной окружности, то четырёхугольник KBCP является вписанным. По теореме о вписанном четырехугольнике, угол \( \angle AKB = \angle ACB \) и \( \angle APC = \angle ABC \). 3. **Подобие треугольников:** Следовательно, треугольники \( \triangle AKC \) и \( \triangle ABC \) подобны по двум углам, так как \( \angle BAC \) - общий. Также, треугольники \( \triangle APB \) и \( \triangle ABC \) подобны. Из подобия \( \triangle AKC \) и \( \triangle ABC \) следует подобие треугольников \( \triangle AKC \) и \( \triangle APB \). 4. **Подобие \( \triangle AKP \) и \( \triangle ABC \):** Поскольку \( \angle KPA = \angle CBA \) и \( \angle PAK \) - общий, то треугольники \( \triangle AKP \) и \( \triangle ABC \) подобны. Из подобия следует, что \( \frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} \) 5. **Выражение KP:** \( \frac{KP}{a} = \frac{21}{c} \). Так как \( a = \frac{2}{3} c \), то \( \frac{KP}{\frac{2}{3} c} = \frac{21}{c} \). Умножаем обе части на \( \frac{2}{3} c \): \( KP = \frac{21}{c} \cdot \frac{2}{3} c \) \( KP = 21 \cdot \frac{2}{3} \) \( KP = 14 \) Ответ: Длина отрезка KP равна 14.