4. Через точку Р, не лежащую между параллельными плоскостями а и в, проведены прямые а и в. Прямая а пересекает плоскости а и в в точках А1 и В₁ соответственно, прямая в - в точках А2 и В2. Найти длину отрезка В1В2, если А1А2 = 6, PA1: A₁B₁=3:2.

Пусть α и β - параллельные плоскости, точка P не лежит между ними. Прямая a пересекает α в точке A₁, а β в точке B₁. Прямая b пересекает α в точке A₂, а β в точке B₂.

Дано: A₁A₂ = 6, PA₁ : A₁B₁ = 3 : 2.

Найти: B₁B₂.

Треугольники PA₁A₂ и PB₁B₂ подобны, так как углы при вершине P общие, а A₁A₂ || B₁B₂ (по теореме Фалеса).

Из подобия треугольников следует:$$\frac{PA_1}{PB_1} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}$$.

Выразим PB₁ через PA₁: $$PB_1 = PA_1 + A_1B_1$$. Так как PA₁ : A₁B₁ = 3 : 2, то $$A_1B_1 = \frac{2}{3}PA_1$$.

Тогда $$PB_1 = PA_1 + \frac{2}{3}PA_1 = \frac{5}{3}PA_1$$.

Подставим в пропорцию: $$\frac{PA_1}{\frac{5}{3}PA_1} = \frac{6}{B_1B_2}$$.

$$\frac{3}{5} = \frac{6}{B_1B_2}$$.

$$B_1B_2 = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10$$.

Ответ: 10.