7. Через точку С, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В и Е, а другая - в точках А и К. Доказать, что CB*CE=CA*CK.

Дано:

• Окружность.
• Точка C вне окружности.
• Секущая CЕ пересекает окружность в точках B и Е.
• Секущая CK пересекает окружность в точках A и K.

Требуется доказать:

$$CB \cdot CE = CA \cdot CK$$

Доказательство:

Рассмотрим треугольники CAE и CBK.

1. ∠C - общий угол.

2. ∠CAE = ∠CBK, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу KE.

Следовательно, треугольники CAE и CBK подобны по двум углам (∠C - общий, ∠CAE = ∠CBK).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{CA}{CB} = \frac{CK}{CE}$$

Перемножим крест-накрест:

$$CA \cdot CE = CB \cdot CK$$

Что и требовалось доказать:

$$CB \cdot CE = CA \cdot CK$$